Por lo general la información de un árbol se coloca de acuerdo al uso que se le dará posteriormente, de tal forma que una misma información puede servir para diferentes usos. Existen tres maneras de recorrer la información de un árbol, y el nombre del recorrido indica el orden en que se coloca el padre en relación a sus hijos. Los tipos de recorridos son en orden primero, en orden segundo y en orden final. La descripción de cada orden es la siguiente:
a) Recorrido en orden primero (padre, izquierdo, demás hijos). En este recorrido primero se toma el padre, luego el hijo izquierdo y al final los demás hijos. Se comienza por la raíz, después se sigue por el nodo de la izquierda, si este nodo tiene hijos se sigue por el de la izquierda hasta llegar a la hoja. Si esta hoja tiene hermanos se toma el que este más cercano a ella (mas a la izquierda). Después de que se termina con la rama izquierda, continúa con la rama más cercana a ella y así sucesivamente hasta terminar con el recorrido de todo el árbol.
b) Recorrido en orden segundo (izquierdo, padre, demás hijos). En este recorrido primero se toma el hijo izquierdo, segundo el padre y al final los demás hijos. Comienza con la hoja que se encuentra más a la izquierda del árbol, después se regresa al padre y posteriormente a todos los hermanos, después se regresa al padre de esta rama y con las ramas de este (tomando siempre la que esta mas a la izquierda) y asi sucesivamente hasta terminar el recorrido del árbol completo.
c) Recorrido en orden final (izquierdo, demás hijos, padre). En este recorrido se toma primero el hijo izquierdo, después los demás hijos y al final el padre. Se comienza en la hoja que se encuentra más a la izquierda del árbol, después se continua con los hermanos, si estos tienen hijos primeramente recorre los hijos y hasta el final el padre, dando preferencia a los hijos de la izquierda y hasta el final al padre. En este tipo de recorrido lo último que se recorre es la raíz, ya que tienen la preferencia los hijos sobre el padre.
°.Recorridos en arboles etiquetados.°
En el área de la computación los arboles etiquetados se usan para evaluar expresiones matemáticas, y las constantes por variables se ubican en las hojas mientras que los operadores (signos aritméticos o funciones) se colocan como nodos intermedios.
El recorrido en “orden primero” también recibe el nombre de notación polaca y es una de las maneras más usadas para evaluar expresiones matemáticas dentro de la computación. La forma en que se realiza es colocando en una pila operadores aritméticos y variable, hasta que se presentan dos variables seguidas se sacan de la pila junto con el operador mas cercano y se realiza la operación correspondiente, se guarda el resultado de la operación en la pila hasta que nuevamente se presentan dos cantidades seguidas, se sacan junto con su operador, se realiza la operación y se guarda la pila. Este procedimiento se repite hasta evaluar por completo la expresión matemática.
El recorrido en “orden final” también es muy útil en la evaluación de expresiones matemáticas, solo que en este caso se introducen en la pila los valores de las variables hasta que llega un signo aritmético. En este momento se extraen de la pila el signo aritmético y los valores que están más cerca de él, se realiza la operación y se guarda el resultado. Cuando llega otro signo aritmético se vuelven a extraer dos valores juntamente con el signo para realizar la operación correspondiente y guardar el resultado.
Cuando se evalúa una expresión matemática puede haber más de una hoja que tenga el mismo valor, así como también es frecuente que dos o más nodos intermedios tengan el mismo signo aritmético.
*.Búsquedas.*
Se puede considerar que uno de los usos principales de las computadoras es guardar la información para después recuperarla en el orden de designado y en forma rápida. Cuando la información es pequeña no hay ningún problema, ya que el tiempo en que encuentra la información almacenada es relativamente pequeño, pero conforme esta aumenta el tiempo de respuesta es importantísimo. Por esta razón es necesario guardar los datos de forma que sea posible acceder a ellos en un tiempo razonable y para esto se realizan arboles de búsqueda binarios (ABB), Arboles AVL y arboles B.
°.Arboles de búsqueda binarios.°
Es posible crear un árbol que desde el momento en que se captura la información quede de forma que sea relativamente fácil acceder a ella, además de que el árbol de búsqueda binario es sencillo de crear y manipular.
Un problema importante de los arboles de búsqueda binario es que algunas veces crecen en forma descontrolada. Cuando el volumen de información es considerable el tiempo de búsqueda se incrementa, ya que se tratan de arboles no balanceados, y en estos caso es conveniente utilizar arboles AVL o arboles B.
De una grafo conexo es posible obtener un árbol (eliminando aristas redundantes) que permite mantener conectados a todos los nodos del grafo; este árbol recibe el nombre de árbol generador.
Existen dos formas en que es posible obtener el árbol generador; usando búsqueda en profundidad o bien por medio de búsqueda a lo ancho. A continuación se exponen ambos procedimientos para luego aplicarlos en la obtención de un árbol generador de grafos.
°.Búsqueda de lo ancho.°
Este procedimiento de comienza en la raíz y después se examinan todos los hijos de la misma de izquierda a derecha. Si la información que se te busca no se encuentra en ese nivel, se procede a buscar en el siguiente nivel también de izquierda a derecha y así sucesivamente hasta encontrar la información. Si se recorrió todo el árbol y no se encontró la información buscada, se debe mandar el mensaje correspondiente.
Si se recorre todo el árbol y no se encuentra la información es conveniente mandar un mensaje “información inexistente”. La búsqueda a lo ancho es útil cuando los árboles están balanceados o tienen pocos niveles de relación a la información que contienen.
°.Búsqueda en profundidad.°
En este caso se comienza en el nodo raíz, después se busaca en el hijo de izquierda y si este hijo no lo tiene se continua con el de la izquierda y así sucesivamente hasta llegar a la parte más baja del árbol. si este nodo ya no tiene hijo izquierdo se continua con el hijo de la derecha (o el que se encuentra más a la izquierda en caso de no ser un árbol binario) hasta llegar a la hoja. Si no se ha encontrado la información, se recorre el camino andando hasta el nodo inmediato anterior que tenga hijos y cuyos hijos no hayan sido inspeccionados, dado de referencia al de mas a la izquierda. Cuando se llega nuevamente a la hoja, se regresa hasta el nodo inmediato anterior que tenga hijos sin inspeccionar y así sucesivamente.
En la búsqueda en profundidad posiblemente se regrese hasta el nodo raíz (lo cual significa que se reviso toda la rama dependiente del hijo izquierdo de la raíz). Si la raíz tiene hijos que aun no han sido inspeccionados se selecciona el nodo más cercano al hijo izquierdo y todos sus descendientes, dando preferencia a los nodos de la izquierda. Este procedimiento se lleva a cabo hasta encontrar la información o bien recorrer todo el árbol.
*.Árboles.*
Uno de los problemas principales para el tratamiento de los grafos es que no guardan una estructura establecida y que no respetan reglas, ya que la relación entre los nodos puede ser tan compleja como la misma naturaleza. Sin embargo, este es un problema cuando se trata de usarlos para el tratamiento y organización de información, dentro del campo de la computación. En lugar de usar grafos que están estructurados sin regla alguna, en computación se utilizan grafos con características particulares que permiten un mejor tratamiento de la información y que se conocen como arboles.
En computación hay dos objeticos básicos: el primero es que cada vez se desarrollen equipos con una capacidad de almacenamiento mayor y el segundo es que cada vez se exige que la computadora entregue los resultados en forma más rápida y ordenada. De la mayor capacidad de almacenamiento se encargan los diseñadores de hardware, los cuales han creado equipos computacionales y de comunicación cada vez más pequeños que permiten almacenar mayores cantidades de información en dispositivos de almacenamiento secundario de dimensiones cada vez menores que se usan en computadoras, celulares y diferentes sistemas de comunicación. De lo segundo se encargan los diseñadores de software y aquí se ha avanzado muy poco en comparación con el desarrollo de equipo. Sin embargo uno de los procesos más significativos en el desarrollo de software es la utilización de arboles para el almacenamiento y manipulación de datos. Los arboles son estructuras jerárquicas que permiten una organización ordenada de la información, de forma que cuando se requiera se pueda encontrar en forma rápida y precisa.
Una de las primeras aplicaciones de los arboles se presento en 1847 cuando Gustav Kirchhoff los utilizó en la manipulación de redes eléctricas; otra aplicación importante la llevo a cabo Grace harper en 1951 al utilizarlos en el manejo de expresiones matemáticas. En la actualidad los arboles se usan en la computación en los procesos de clasificación de información, bases de datos, codificación de información, estructuras de datos y reconocimientos de patrones. Un árbol es un grafo conexo que no tiene ciclos, lazos ni paralelos.
*.Propiedades de los Árboles.*
Las propiedades básicas de los árboles son las siguientes:
a) Es un grafo conexo en donde existe un camino entre cualquier par de vértices (W, X).
b) Este grafo no tiene ciclos ni lados paralelos.
c) Todo árbol con al menos dos vértices tiene al menos una hoja (si se considera al otro vértice la raíz).
Un grafo con características de árbol es el que se parece a un árbol real cons sus ramas hacia abajo como se muestra en la figura
Los vértices de un árbol reciben el nombre de nodos y los lados de ramas. Un grafo está compuesto por niveles y el más alta de la jerarquía se llama raíz. La raíz tiene un nivel 0, los vértices inmediatamente tiene un nivel uno y asi sucesivamente. La altura o peso de un árbol es el valor de su nivel más bajo.
Con acepción de la raíz todo nodo está vinculado a otro de mayor nivel que recibe el nombre de padre, también cualquier nodo puede tener uno o más elementos relacionados en un nivel más bajo y a estos se les llama hijos. A los elementos que están en las puntas de las ramas (es decir, que no tiene hijos) se les llama hojas.
A todos los elementos colocados debajo de un nodo, independientemente de su nivel, se les llama descendientes. Los elementos colocados en una misma línea de descendencia, antes de un nodo, se llaman antecesores. Por otro lado, se llaman vértices internos a todos aquellos que no son hojas.
*.Tipos de Árboles.*
Los arboles se pueden clasificar de acuerdo con su número de nodos y en función de su altura.
°.Clasificación por número de nodos.°
En este caso los arboles pueden ser binarios (cada nodo padre tiene uno o dos hijos máximo), trinarios (cada nodo padre tiene máximo tres hijos), cuaternarios (cada nodo padre tiene como máximo cuatro hijos), etc.
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B: árbol cuaternario.
°.Árbol binario.°
En este tipo de árbol cada nodo tiene como máximo dos hijos, esto es, el nodo puede tener dos ramas, una o ninguna pero nunca puede tener mas que dos.
Los arboles binarios son especialmente importantes en el area de la computación ya que por su naturaleza de tener solamente dos valores(0 y 1) o bien falso o verdadero, son muy utiles en aplicaciones de sistemas digitales.
Ejemplo de árbol binario
Árbol binario completo
Es aquel en el que cada nodo tiene dos ramas o ninguna.
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Ejemplo de árbol binario completo
Finalmente hay que descartar que los arboles completos trinaros, cuaternarios o con mas hijos se usan para organizar información voluminosa.
°.Clasificación por ltura.°
De acuerdo a este criterio los arboles pueden ser balanceados (cuando la diferencia de altura entre sus ramas es máximo uno y desbalanceados cuando la diferencia de altura entre la ramas es mayor de uno)
.°Árbol balanceado.°
Se dice que un árbol con una altura h esta balanceado si el nivel de cualquier hoja es h o (h-1), esto es, si hay una diferencia máxima de nivel entre hojas. Algunos autores consideran que un árbol esta balanceado cuando la diferencia máxima entre hojas es de 1, pero además cada nodo padre debe tener el mismo número de hijos, a excepción de que no se complete colocando en la parte baja del árbol. Es por esa razón que al balancear un árbol se debe indicar también l número de hijos que tendrá cada uno de los nodos.
Para balancear un árbol con una cantidad constante de hijos de los nodos padres, se llenan empezando por la raíz y descendiendo con un avance de izquierda a derecha.
*.BOSQUES.*
Un bosque es un conjunto de arboles en otras palabras un árbol es un bosque conectado. De un árbol se pueden obtener varios subarboles, mismos que conforman un bosque a su vez un árbol puede considerarse como un bosque conectado, solo se debe tener en cuenta que el árbol más pequeño está integrado por cuando menos dos nodos conectados por un arista.
En este método los vértices se dividen en dos conjuntos: vértices integrados, que son los que forman parte del árbol generador mínimo, y vértices no integrados. El conjunto árbol contiene todas las aristas que se van integrando en cada iteración.